Evolventenverzahnung - Theorie

In diesem Teil werden einige theoretische Informationen und Formeln zusammengefasst, welche den Geometrieentwurf, Berechnung der Kraft- und Leistungsparameter und Festigkeitskontrollen der Evolventenverzahnung betreffen. Diese Unterlagen wurden in den folgenden Berechnungen angewendet.

  • Stirnverzahnung äußeren
  • Stirnverzahnung inneren
  • Planetengetriebe mit geraden und schrägen Zähnen
  • Stirnverzahnung - Zahnstange
  • Inhalt:

    1. Geometrie, Maße
    2. Moment, Leistung, Kräfte, Wirkungsgrad
    3. Planetengetriebe
    4. Zahnstange
    5. Spannung und Sicherheit ISO 6336:2006
    6. Spannung und Sicherheit ANSI/AGMA 2001-D04

    1. Geometrie, Maße

    Verwendete Formeln (Berechnung der Verzahnungsgeometrie).

    Einige der wichtigsten Formeln für die Berechnung der Verzahnungsgeometrie sind unten angeführt. In den Formeln werden die Indexe 1 und 2 für das Ritzel und Rad verwendet (dies ist das Paar: Sonnenrad und Planetenträger, beziehungsweise Planetenträger und Hohlrad). Im Fall einer Innenverzahnung (Hohlrad) wird ein negativer Wert der Zähnezahl des Innenrades und damit auch ein negativer Wert des Achsabstandes und der Durchmesser verwendet.

    Im Fall eines Planetengetriebes sind die einzelnen Räder voneinander gegenseitig abhängig und es ist das Getriebe als Einheit inkl. der entsprechenden begrenzenden Bedingungen (siehe weiter) zu lösen.

    Parameter des Grundprofils: mn (Modul, DP für Fingerberechnung), a (Eingriffswinkel), ha*, c*, rf* (Parameter der Bearbeitungsmaschine)
    Parameter der Ritzel und Rad: z1, z2 (Zähnezahl vom Ritzel und Rad), x1, x2 (Einheitsverschiebung), b (Schrägungswinkel am Zahngrundkreis), b (Verzahnungsbreite)

    1. Übersetzungsverhältnis
      i = z2 / z1
    2. Modul
      mt = mn / cos(b) ... Tangentialmodul
    3. Teilung
      p = p • mn ... Teilung
      pt = p / cos(b) ... Stirnteilung
      ptb = pt • cos(at) ... Grundteilung
    4. Eingriffswinkel
      at = arctg(tg(a) / cos(b)) ... Tangentialer Eingriffswinkel
      awn = arcinv(2 • (x1 + x2) / (z1 + z2) • tg(a) + inv(a)) ... Wälzeingriffswinkel - normal
      awt = arcinv(2 • (x1 + x2) / (z1 + z2) • tg(a) + inv(at)) ... Wälzeingriffswinkel - tangential
    5. Schrägungswinkel am Grundkreis
      bb = arcsin(sin(b) • cos(a))
    6. Durchmesser
      d = z • mt ... Teilkreisdurchmesser
      db = d • cos
      (at) ... Grundkreisdurchmesser
      dw = d • cos
      (at) / cos(awt) ... Walzkreisdurchmesser
      da = mn • (z / cos
      (b) + 2 • (ha* + x - DY) ... Kopfkreisdurchmesser
      df = d - hf ... Fußkreisdurchmesser
    7. Teilungsachsabstand
      a = (z1 + z2) • mn / (2 • cos
      (b)) ... Teilungsachsabstand
      av = a + (x1 + x2) • mn ... Herstellungsachsabstand
      aw = a • cos
      (at) / cos(atw)  ... Arbeitsachsabstand
      DY = (a - aw) / mn + (x1 + x2) ... Profilverschiebungsfaktor der Räder
    8. Eingriffsfaktor
      ea = ((da1^2 - db1^2)^0.5 + (da2^2 - db2^2)^0.5 - 2 • aw • sin(awt)) / (2 • p • cos(at) / cos(b)) ... Eingriffsfaktor in der Stirnebene
      eb = b / mn / p • sin(b) ... Eingriffsfaktor in der Achsenebene
      eg = ea + eb ... Totaleingriffsfaktor

    Korrekturprinzip, Korrekturanwendungen.

    Durch Annähern oder Entfernen des Werkzeuges in Hinsicht auf die Radmitte ändert sich die Form und dadurch auch die Eigenschaften einer Evolventenverzahnung. So wird eine korrigierte Verzahnung, Verschiebungs-Verzahnung gebildet. In der Abbildung ist:

    1. Herstellungswerkzeug
    2. hergestelltes Rad

    Durch eine Verzahnungskorrektur ist es möglich:

    Beispiel eines Zahnprofils (z=10, a=20;b=0) wo es bei X=0 zur Unterschneidung kommt und der Wert x=0.7 zu einem spitzen Zahn führt.

    Tipp: Ausführlichere Informationen über Korrekturmöglichkeiten und Korrekturweisen empfehlen wir in der Fachliteratur zu suchen.

    Empfohlene Werte – Optimierung.

    Bei einer Festlegung der Korrekturwerte sind die funktionellen Anforderungen auf die Verzahnung zuerst zu erfüllen, welche zu den Wichtigsten gehören

    Zur Sicherung der funktionellen Anforderungen ist es dann möglich, weiter die Höhenkorrekturen zwecks der Verbesserung eines oder mehreren wichtigen Verzahnungsparameter zu optimieren. Von den oft verwendeten Optimierungsmethoden ist es möglich, hier die Verzahnung auf den Ausgleich der Schlüpfe [5.14 - 5.17] und auf Minimierung der Schlüpfe [5.18] zu optimieren. Für weitere Optimierungsprozesse gibt es in der Literatur eine Reihe von Empfehlungen und vor allem so genannte Diagramme (Tabellen) der Grenzkorrekturen, die einen anschaulichen Hinblick auf die Möglichkeiten und Wahlen der Korrekturen bieten.

    2. Moment, Leistung, Kräfte, Wirkungsgrad

    Moment, Leistung, Zahnkräfte

    Drehmoment
    Mk [Nm] = Pw * 9550 / n  .............. (SI units)
    T [lb.in] = PP * 63000 * / n  ........... (Imperial)
    Pw, PP ... Leistung [kW, HP]
    n ........... Drehzahl [/min]
     

    Leistung (Stirnverzahnung - Zahnstange)
    Pw = Ft * v / 1000
    Ft ... Tangentialkraft
    v .... rychlost ozubeného hřebenu

    Zahnkräfte Berechnung:

    Tangentialkraft
    Ft = Mk * 2000 / dw
    dw ... Walzkreisdurchmesser
    MK ... Drehmoment

    Axialkraft
    Fa = Ft * tan(b) / cos(awt)
    b ...  Schrägungswinkel am Zahngrundkreis
    awt ... Wälzeingriffswinkel - tangential

    Radialkraft
    Fr = Ft * tan(awt)

    Normalkraft
    Fn = (Ft2 + Fa2 + Fr2)0.5

    Biegemoment
    Mo = Fa * (dw / 2000)

    Wirkungsgrad und Verluste.

    Die Verluste im Planetengetriebe können in Verluste durch Leerlauf und Verluste durch Belastung aufgeteilt werden. Die Verluste durch Leerlauf (durch Schmierung, unbelasteter Eingriff, Lager) sind sehr schwierig analytisch zu bestimmen und sind gewöhnlich wesentlich niedriger als die Verluste durch Belastung. Die Verluste bei Belastung entstehen bei der Leistungsübertragung und sind:

    Verluste in der Verzahnung

    Es ist ungefähr möglich, den Verlustkoeffizienten nach der Formel auszudrücken:
    Geradverzahnung: zz = 0.5 • f • pe • (1/z1 +- 1/z2)
    Schrägverzahnung: zz = 0.25 / cos(b) • f • pe • (1/z1 +- 1/z2)
    wobei:
    z1, z2 – Zähnezahl
    f – Reibungskoeffizient (0.04 - 0.08)
    e – Eingriffskoeffizient
    b – Schrägungswinkel am Zahngrundkreis
    Zeichen (+) für Außenverzahnung, (-) für Innenverzahnung.

    Verluste in den Lagern

    Die Verlustleistung kann aus der Beziehung bestimmt werden:
    PVL = w • F • f • r
    wobei:
    w – Drehgeschwindigkeit
    F – resultierende Lagerbelastung (Planetenträger, Fliehkraft)
    f – Reibungskoeffizient (0.001 - 0.005)
    r – mittlerer Lagerdurchmesser

    Bemerkung: Der Reibungskoeffizient (Verzahnung und Lager) wird in der Berechnung anhand des gewählten Genauigkeitsgrad (Verzahnungsrauhigkeit) und des eingesetzten Schmierstoffes abgeschätzt.

    Für die Berechnung der Verluste (des Wirkungsgrads) des Planetenradsatzes verwenden wir die Verluste im Vergleichsgetriebe (abgestellter Planetenträger), wobei:

    wobei:
    zz0/z1 – Verlustkoeffizient Sonnenrad – Planetenrad
    zz1/z2 – Verlustkoeffizient Planetenrad – Hohlrad

    z0,z2 – Zähnezahl des Sonnen- und Hohlrades

    Für die Einzelfälle des Leistungsflusses gilt dann für die Berechnung der Verluste:

    z = ir • zr / (ir - 1) Sonnenrad => Planetenrad (Planetenträger)
    z = zr Sonnenrad => Hohlrad
    z = ir • zr / (ir - 1 + zr ) Planetenrad (Planetenträger) => Sonnenrad
    z = - zr / (ir - 1) Planetenrad (Planetenträger) => Hohlrad
    z = - zr / (ir - 1 - ir • zr) Hohlrad => Planetenrad (Planetenträger)
    z = zr Hohlrad => Sonnenrad
    Bemerkung: Eine detaillierte und genaue Bestimmung der Verluste im Planetenmechanismus ist aufwendig und von den detaillierten Kenntnissen der Bauweise, der eingesetzten Werkstoffe und den Betriebsbedingungen abhängig. Die Werte aus der Berechnung sind deshalb als Anhaltswerte zu betrachten.

    3. Planetengetriebe

    Die Planetenzahnradsätze bestehen aus einem System von Zahnrädern und einem Planetenträger. Die sogenannten Zentralzahnräder sind gleichachsig mit dem Planetenträger und der Zentralachse des Übersetzungmechanismus. Die Planetenräder sind dann Zahnräder gedreht gelagert am Planetenträger und sind im Eingriff mit den Zentralrädern oder untereinander. Die Planetenräder können eine oder mehrere Verzahnungen haben. Zwei- und mehrstufige Planetenräder haben mehrere Konstruktionsvarianten mit größeren Möglichkeiten, sind aber komplizierter und für die Fertigung teuerer.

    Ein Beispiel eines einfachen Planetengetriebes mit einstufiger Planetenradverzahnung ist unten angeführt. Dieser Grundtyp des Planetengetriebes ist dann auch komplex in diesem Programm gelöst.

    Einfaches Planetengetriebe (Differentialgetriebe):

    0 – Sonnenrad; 1 – Planetenträger; 2 – Hohlrad; 3 – Planetenrad.


    Wenn bei einem einfachen Planetengetriebe alle drei Grundelemente (0, 1, 2) frei sind, handelt es sich um ein Differentialgetriebe (2 Freiheitsgrade), welches es ermöglicht, zwei Bewegungen in eine zusammenzusetzen / zu zersetzen. Dieses wird zum Beispiel bei Bearbeitungsmaschinen (Zusammensetzen) oder beim Differentialgetriebe für Fahrzeuge (Bewegungszersetzung) genutzt.

    Wenn mit dem Rahmen eines der Grundelemente (0 oder 2) verbunden, entsteht ein Planetengetriebe (1 Freiheitsgrad) – ein Reduktor beim Antrieb in Richtung des Sonnenrads oder ein Multiplikator beim Antrieb in Richtung des Planetenträgers. Wenn mit dem Rahmen der Planetenträger verbunden, handelt es sich um ein normales Getriebe oder Vergleichsgetriebe.

    Die Planetengetriebe können gegenseitig auf verschiedene Arten geschaltet werden. Das häufigste Verfahren ist die Schaltung nacheinander, wo das gesamte Übersetzungsverhältnis (Wirkungsgrad) durch ein Produkt der einzelnen Übersetzungsverhältnisse (Wirkungsgrade) gegeben ist. Bei den zusammengesetzten Getrieben wird sehr oft die Möglichkeit des Bremsens der einzelnen Elemente und damit die Schaltung der Getriebestufen genutzt.

    Vorteile:

    • Platzeinsparung durch gleichachsige Anordnung der Antriebs- und Abtriebswelle
    • Niedrigeres Gewicht gegenüber dem normalen Getriebe
    • Hoher Wirkungsgrad auch bei großen zu übertragenden Leistungen
    • Niedrige radiale Belastung der Lager der Zentralelemente
    • Kompakte Bauweise

    Nachteile:

    • Kompliziertere Bauweise, höhere Anforderungen an die Genauigkeit der Fertigung und Montage
    • Höhere Herstellungskosten
    • Einige begrenzende Bedingungen (Montierbarkeit)

    Einsatz:

    In Bezug auf die angeführten Vorteile erfolgt der Einsatz von Planetengetrieben immer häufiger in einer ganzen Reihe von Bereichen (zum Beispiel Getriebe von Kraftfahrzeugen, Baumaschinen, Hebevorrichtungen, Schiffsgetriebe, Turbinenreduktoren etc.) Häufig ist auch die Verbindung eines Planetengetriebes mit einem Hydraulik- oder Reibungsgetriebe.

    Konstruktion – Geometrieverhältnisse?

    In den angeführten Formeln werden folgende Indexe verwendet.

    Für:
    - Sonnenrad – 0
    - für Planetenrad – 1
    - für Hohlrad – 2

    Unter Berücksichtigung der Möglichkeit von Montage und Funktion des Planetenradsatzes ist es nicht möglich, willkürlich die Geometrie der Zahnräder zu wählen. Für eine korrekte Funktion sind etliche Bedingungen zu verfolgen und einzuhalten.

    Bedingung der Gleichachsigkeit

    Die Planetenräder der Planetenzahnradsätze greifen in die Sonnenräder bzw. in andere Planetenräder ein. Im Fall dieser Berechnung kommt es zu einem gemeinsamen Eingriff des Planetenrads mit den Sonnenrädern (Planet, Hohlrad). Da das Planetenrad eine gemeinsame Achse mit dem Hohlrad hat, muss der Achsabstand zwischen den beiden Planetenrädern und den beiden Sonnenrädern gleich sein.

    Für allgemein korrigierte Räder gilt also, dass

    aw (0,1) = aw (1,2)
    wo aw (0,1)=mt(z0+z1)/2COS(alfat)/COS(alfawt(0,1))
    wo aw (1,2)=mt(z1+z2)/2COS(alfat)/COS(alfawt(1,2))

    Bemerkung: Im Programm wird die Verletzung dieser Bedingung mit einer roten Hervorhebung der Zellen mit dem berechneten Achsabstand signalisiert.

    Bedingung der Montierbarkeit:

    Für die einfachen Planetenräder und für eine gleichmäßige Verteilung ist die folgende Bedingung zu erfüllen:
    g = (abs (z0) + abs (z2))/P
    Wobei:
    g – muss eine willkürliche Ganzzahl sein
    P – Anzahl Planetenräder
    z – Zähnezahl

    Bemerkung: Diese Bedingung muss stets erfüllbar sein (zum Beispiel im Fall der Anforderung zum Erreichen des gesamten Übersetzungsverhältnisses). Diese Bedingung kann man durch eine gleichmäßige Verteilung der Planetenräder umgehen, was zu größeren Ansprüchen an die Fertigung, die Unwucht des Planetenradträgers, die Unwucht der Innenkräfte und zu erhöhter Beanspruchung führt.

    Bedingung des Spiels zwischen den benachbarten Planetenrädern.

    Diese Bedingung stellt ein Mindestspiel zwischen den Planetenrädern vmin (1 - 2 mm, 0,05 in) sicher.
    Maximale Anzahl von Planetenrädern P = int(asin((da1+vmin)/(aw • 2)))

    Bemerkung: Im Programm wird die Verletzung dieser Bedingung mit einer roten Hervorhebung der Zellen mit der Anzahl der Planetenräder signalisiert.

    4. Zahnstange

    Geometrie.

    Es handelt sich um eine standardmäßige Verzahnungsberechnung, bei der in eine Zahnstange ein verzahntes Ritzel eingreift. Sowohl für das Ritzel, als auch für die Zahnstange kann das Profil des Herstellungswerkzeuges definiert werden.

    In der Berechnung kann die Anzahl der Zähne vom Ritzel, der Eingriff- und Zahnneigungswinkel gewählt werden. Da es in diesem Fall keinen Sinn hat, die Zahnstange zu korrigieren, kann lediglich eine Korrektion des Ritzels gewählt werden (Achsabstand, Verbesserung der Eingriffsbedingungen, Verbesserung der Festigkeitsparameter).

    Auswahl der Belastung.

    In der Berechnung kann die Tangentialkraft eingegeben werden, was eigentlich eine Kraft ist, mit der die Zahnstange auf das Ritzel wirkt, und die Bewegungsgeschwindigkeit der Zahnstange (Umfangsgeschwindigkeit des Ritzels). Aus diesen beiden Werten werden anschließend die übertragene Leistung und das Ritzeldrehmoment berechnet. Da die Zahnstange für eine Vielzahl von unterschiedlichen Konstruktionslösungen angewendet werden kann, ist diese nachzuberechnen (abzuschätzen) und die Übersetzungsanforderungen auf diese zwei Werte umzurechnen.

    Festigkeitsberechnung.

    Da es keine Normen für die Festigkeitsberechnung des Ritzels im Eingriff mit einer Zahnstange gibt, wird für die Festigkeitsberechnung die Norm ISO6336(ANSI/AGMA2001-D04) angewendet. Die Zahnstange ist hier durch ein Zahnrad mit einer hohen Anzahl an Zähnen (1000 Zähne) ersetzt.

    Radentlastungskoeffizient – kritische Drehzahl

    Zur Festlegung der kritischen Drehzahl bei der Anwendung der Zahnstange gibt es keine genaue Methodik. Für eine grobe Schätzung kann eine Berechnung von zwei Zahnrädern angewendet werden (Ersatz der Zahnstange durch ein Zahnrad).

    Für eine leichte Zahnstange, die mit keiner Konstruktion verbunden ist, benutzen Sie den Faktor sR/h=1, für eine mit einer Konstruktion verbundene Zahnstange den Faktor 20.

    Anzahl der Zyklen.

    Für die Bestimmung des Lebensdauerkoeffizienten (YNT, ZNT) muss die Anzahl der Zyklen bekannt sein. Geben Sie die Anzahl der Belastungszyklen für das Ritzel und für die Zahnstange ein.

    5. Allowable stress and safety for Involute Spur and Helical Gear Teeth  ISO 6336:2006.

    In den folgenden Absätzen wird die Art der Belastungsfähigkeitsberechnung beschrieben. Für die Berechnung wird die Norm ISO6336:2006 angewendet. In der Beschreibung werden die angewendeten Schlüsselformeln zum Verständnis der Berechnung und Bedienung dieses Programms angeführt. Dieser Text ersetzt keinesfalls die vollständige Lautung der angewendeten Normen.

    ISO 6336-1:2006 Part 1: Basic principles, introduction and general influence factors

    This part of ISO 6336 presents the basic principles of, an introduction to, and the general influence factors for, the calculation of the load capacity of spur and helical gears.

    Basic relations for the gears load

    Ft = 2000 * T1,2 / d1,2 = 19098 * 1000 * P / (d1,2 * n1,2) = 1000 * P / v
    w1,2 = 2000 * v / d1,2 = n1,2 / 9549

    Ft ... (nominal) transverse tangential load at reference cylinder per mesh
    T1,2 ...  nominal torque at the pinion (wheel)
    d1,2 ... reference diameter of pinion (wheel)
    P ... transmitted power
    n1,2 ... rotation speed of pinion (wheel)
    v ... tangential velocity (without subscript, at the reference circle =tangential velocity at pitch circle)
    w1,2 ... angular velocity of pinion (wheel)

    Application factor KA

    The application factor, KA, is used to modify the value of Ft to take into account loads additional to nominal loads, which are imposed, on the gears from external sources. The empirical guidance values in table B.1 ISO 6336-6 can be used (for industry gears and high speed gears).

    Internal dynamic factor KV

    (The internal dynamic factor KV makes allowance for the effects of gear tooth accuracy grade as related to speed and load.

    There are three calculation methods (B2006), (C2006) a (C1996).)

    Die Methode B eignet sich für alle Typen von Stirnzahnrädern. Sie ist relativ kompliziert und bei einer ungeeigneten Auswahl des Materials und des Genauigkeitsgrades im Hinblick auf die Belastung können die KV-Werte unrealistisch sein. Methode C kann mit gewissen Einschränkungen angewendet werden. Daher ist es möglich, in der Berechnung die Obergrenze von KV einzustellen (voreingestellt 5.0). Bei deren Überschreitung empfiehlt es sich, das gewählte Material und den Genauigkeitsgrad im Hinblick auf die Verzahnungsbelastung zu überprüfen.

    Internal dynamic factor KV(B)
    N = n1 / nE1

    For N < NS (Subcritical range)
    NS = 0.5 + 0.35 * ( Ft * KA / b )0.5 ...... [ Ft * KA / b < 100 ]
    NS = 0.85 ...... [ Ft * KA / b >= 100 ]
    KV(B) = ( N * K ) + 1
    K = ( CV1 * BP ) + ( CV2 * Bf ) + ( CV3 * BK )
    BP = c' * fpb eff / ( Ft * KA / b )
    Bf  = c' * fta eff / ( Ft * KA / b )
    BK = abs (1 + c' * Ca / ( Ft * KA / b ))

    For Ns < N < 1.15 (Main resonance range)
    KV(B) = ( CV1 * BP ) + ( CV2 * Bf ) + ( CV4 * BK ) + 1

    For N >= 1.5 (Supercritical range)
    KV(B) = ( CV5 * BP ) + ( CV6 * Bf ) + CV7

    For 1.15 < N < 1.5 (Intermediate range)
    KV(B) = KV(N=1.5) + ( KV(N=1.15) - KV(N=1.5)) / 0.35 * (1.5 - N)

    Coeficients

     

    1.0 < eg <=2.0 eg > 2.0
    CV1 0.32 0.32
    CV2 0.34 0.57 / (eg - 0.3)
    CV3 0.23 0.096 / (eg - 1.56)
    CV4 0.90 (0.57 - 0.05 * eg ) / (eg - 1.44)
    CV5 0.47 0.47
    CV6 0.47 0.12 / (eg - 1.74)
    CV7 1.0 < eg <=1.5 0.75
    CV7 1.5 < eg <=2.5 0.125 * sin(p * (eg - 1.74)) + 0.875
    CV7 eg > 2.5 1.0
    Cay1,2 1 / 18 * (sHlim1,2 / 97 - 18.45)2 + 1.5
    Cay 0.5 * (Cay1 + Cay2)
    Ca Ca = Cay

     

    Internal dynamic factor KV(C)

    Method C supplies average values which can be used for industrial transmissions and gear systems with similar requirements in the following fields of application:

    Method C can also generally be used, with restrictions for the following fields of application:

    Method (C2006) is different from (C1996) by adding the coefficient K3.
    Example for input values KA * Ft / b = 100; v = 3 m / s; Q = 7 and straight teeth.

    KV(C..1996)
    KVa,b = 1 + (K1 / ( Ft * KA / b ) + K2) * v * z1 / 100 * (u2 / (1 + u2))0.5 ... [ eb = 0; eb >= 1.0]

    KV(C..2006)
    KVa,b = 1 + (K1 / ( Ft * KA / b ) + K2) * v * z1 / 100 * K3 * (u2 / (1 + u2))0.5 ... [ eb = 0; eb >= 1.0]

    KV = KVa - ea* ( KVa - KVb ) ... [0 < eb < 1.0]

    Coeficients

      K1 (Accuracy grades as speclfled in ISO1328-1) K2
      3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 All
    Spur gears eb = 0 2.1 3.9 7.5 14.9 26.8 39.1 52.8 76.6 102.6 146.3 0.0193
    Helical gears eb >=1.0 1.9 3.5 6.7 13.3 23.9 34.8 47.0 68.2 91.4 130.3 0.0087
    SRC = v * z1 / 100 * (u2 / (1 + u2))0.5
    K3 = 2.0 ...... [SRC <= 0.2]
    K3 = -0.357 * SRC + 2.071 ...... [SRC > 0.2]

     

    Main resonance of a gear pair NE1

    nE1 = 30000 / ( p * z1 ) * ( cga  / mred )0.5

    where:

    mred = m*1 * m*2 / ( m*1 + m*2 )
    m*1,2 = J*1,2 / (rb 1,2)2   [kg/mm]
    J*1,2 = J1,2 / b1,2
    cga = c' * (0.75 * ea + 0.25)
    c' = c'th * CM * CR * CB * CE * CFK * cos(
    b)
    c'th = 1 / (0.04723 + 0.15551/zn1 + 0.25791/zn2 - 0.00635*x1 - 0.11654*x1/zn1 - 0.00193*x2 - 0.24188*x2/zn2 + 0.00529*x12 + 0.00182*x22)
    c'th = 1 / (0.04723 + 0.15551/zn1  - 0.00635*x1 - 0.11654*x1/zn1 - 0.00193*x2 + 0.00529*x12 + 0.00182*x22) ... for internal gearing
    CM = 0.8
    CR = 1 + ln(bs / b) / (5 * e(sR/(5 * mn))) ...... [0.2 < bs < 1.2 ]
    CB = 0.5 * (CB1 + CB2); CB1,2 = (1 + 0.5 * (1.2 - hf1,2 / mn)) * (1 - 0.02*(20 - aPn))
    CE = (( 2 * E1 * E2 ) / ( E1 + E2 )) / 206
    CFK = (( Ft * KA / b ) / 100 )0.25...... [ CFK<= 1.0 ]

    zn1,2 = z1,2 / cos(b)3

    Main resonance of gear with idler gears, inner gears and planet gears are calculated by different process. Details in ISO6336-1.

    Coefficient KHb (KFb)

    This coefficient takes into account the effect of the non-uniform distribution of load over the gear face. Uneven load distribution is caused by an elastic deformation of gears and housing, manufacturing deviations and thermal distortion. Methods, principles and assumptions are given in standard ISO6336-1. Because the determination of the coefficient is dependent on a number of factors and primarily on the specific dimensions and design of the gearbox, is for the design purposes selected the coeficient KHb from graphs based on practical experiences. The calculation is in paragraph [18].

    Determination KHb (method C)

    Detail description is in ISO6336-1. Here is just a selection of formulas, information and comments that are related to the calculation KHb.

    a) KHb = (2 * Fby * cgb / (Fm / b))0.5 ...... [ Fby * cgb / (2 * Fm / b) >= 1.0; KHb >= 2.0 ]
    b) KHb = 1 + Fby * cgb / (2 * Fm / b) ...... [ Fby * cgb / (2 * Fm / b)  < 1.0; KHb > 1.0 ]

    where:

    Fm = Ft * KA * KV
    Fby =  Fbx *  yb
    cgb = 0.85 * cga
    b ...... gear width
    yb ... Running-in allowance from graph

    where:

    1) Fbx = Choosing your own values
    2) Fbx = 1.33 * B1 * fsh + B2 * fma ....... [ Fbx >=  Fbxmin ]
    3) Fbx = abs( 1.33 * B1 * fsh - fHb6) ...... [ Fbx >=  Fbxmin ]
    4) Fbx = 1.33 * B1 * fsh + fsh2 + fma + fca +fbe

    where:

    B1, B2 coeficients, table 8, ISO6336-1
    fHb6 ... Helix slope deviation for Q=6, ISO1328-1
    fsh ... Component of equivalent misatignment. It is possible to use several methods (calculation, measurement, estimation). Used formula:
    fsh = Fm / b * 0.023 * (abs(B' + K' * l * s / d12 * (d1 / dsh)4 - 0.3) + 0.3) * (b / d1)2 ... [s / l < 0.3]
    fsh = Fm / b * 0.046 * (abs(B' + K' * l * s / d12 * (d1 / dsh)4 - 0.3) + 0.3) * (bB / d1)2 ... [s / l < 0.3]
    fsh2, fca, fbe ... can be determined by ISO6336-1
    B' = 1.0 ... for both spur and single helical gears, for the total transmitted power
    K' = arrangement coefficient, gray indicates the less deformed helix of a double helical gear

    K' with stiffening without stiffening
    A 0.48 0.80
    B -0.48 -0.80
    C 1.33 1.33
    D -0.36 -0.60
    E -0.60 -1.00

     

    l, s .... picture
    dsh ... shaft diameter
    fma ... mesh misalignment. It is possible to use several methods (calculation, measurement, estimation). Used formula:
    fma = (fHb12 + fHb22)0.5 .

    Determination KHb (Simplified formula)

    a) KHb = Acoef * (2 * Fby * cgb / (Fm / b))0.5 ...... [ Fby * cgb / (2 * Fm / b) >= 1.0; KHb > 1.0 ]
    b) KHb = Acoef * (1 + Fby * cgb / (2 * Fm / b)) ...... [ Fby * cgb / (2 * Fm / b)  < 1.0; KHb > 1.0 ]

    where:

    Fm = Ft * KA * KV
    Fby =  Fb * 0.8 ..... [Fb from ISO 1328]
    cgb = 0.85 * cga
    b ...... gear width

    Acoef = 1.0 ..... Double-sided symmetrically supported gearing
    Acoef = (0.9 + 0.15 * (b1 / d1)2 + 0.23 * (b1 / d1)3) ..... Double-sided non-symmetrically supported gearing
    Acoef = (0.9 + (b1 / d1)2) ..... Overhung gearing

    Determination KHb (Approximation from the table)

    For the preliminary design is possible to use values ​​from these graphs.
    X Axis: Ratio gear width to gear diameter
    Y Axis: Factor KHb ..... [min. value = 1.05]
    Accuracy grade 7


    Not-hardended gears, VHV<370, design type A-F ... calculation paragraph [2.0]


    Hardended gears, VHV<=370, design type A-F ... calculation paragraph [2.0]

    Coefficient KFb

    KFb = ( KHb )NF
    NF = (b / h)2 / (1 + b / h + (b / h)2) ...... [když b / h < 3; pak b / h = 3] ([if b / h < 3; then b / h = 3])

    The smaller of the values b1/h1, b2/h2 is to be used as b/h.

    Coefficient KHa (KFa)

    KHa = KFa = eg / 2 * (0.9 + 0.4 * (cga * (fpb - ya)) / (FtH / b)) ...... [eg <= 2.0]
    KHa = KFa = 0.9 + 0.4 * (2.0 * (eg - 1.0) / eg)0.5 * cga * (fpb - ya)  / (FtH / b) ...... [eg > 2.0]

    Pro: (For:)
    KHa > eg / ( ea * Ze2) ...... KHa = eg / ( ea * Ze2)
    KHa < 1.0 ...... KHa = 1.0

    Pro: (For:)
    KFa > eg / (0.25 * ea + 0.75) ...... KFa = eg / (0.25 * ea + 0.75)
    KFa < 1.0 ...... KFa = 1.0

    fpb = fpt (ISO1328-1)

    ya ... Material: St, St(cast), V, V(cast), GGG(perl.), GGG(bai.), GTS(perl.)
    ya = fpb * 160 /
    σHlim [ v < 5m/s ]
    ya <= 12800 / σHlim [ 5m/s < v <= 10m/s ]
    ya <= 6400 / σHlim [ v > 10m/s ]

    ya ... Material: GG, GGG(ferr.)
    ya = fpb
    0.275 [ v < 5m/s ]
    ya <= 22 [ 5m/s < v <= 10m/s ]
    ya <= 11 [ v > 10m/s ]

    ya ... Material: Eh, IF, NT(nitr.), NV(nitr.), NV(nitrocar.)
    ya = fpb
    0.075 [ ya <= 3 ]
     

    ISO 6336-2:2006 Part 2: Calculation of surface durability (pitting)

    This part of ISO 6336 specifies the fundamental formulae for use in the determination of the surface load capacity of cylindrical gears with involute external or internal teeth. It includes formulae for all influences on surface durability for which quantitative assessments can be made. lt applies primarily to oil-lubricated transmission, but can also be used to obtain approximate values for (slow-running) grease-lubricated transmissions, as long as sufficient lubricant is present in the mesh at all times.

    Safety factor for surface durability (against pitting), SH

    Calculate SH separately for pinion and wheel:

    SH1,2 =  σHG1,2 /  σH1,2 > SHmin

    Contact stress σH

    σH1 = ZB * σH0 * (KA * KV * KHb * KHa)0.5
    σH2 = ZD * σH0 * (KA * KV * KHb * KHa)0.5

    The nominal contact stress at the pitch point σH0
    σH0 = ZH * ZE * Ze * Zb * (Ft / (b * d1) * (u + 1) / u)0.5

    Permissible contact stress σHP: Method B

    σHP = ZL * ZV * ZR * ZW * ZX * ZNT * σHlim / SHmin = σHG / SHmin

    The pitting stress limit σHG
    σHG = σHP * SHmin

    Zone factor ZH

    ZH = (2 * cos(bb) * cos(awt) / (cos(at)2 * sin(awt)))0.5

    Single pair tooth contact factors ZB and ZD

    M1 = tan(awt) / ((((da1 / db1)2 - 1.0)0.5 - 2 * p / z1) * (((da2 / db2)2 - 1.0)0.5 - (ea - 1.0) * 2 *  p / z2))0.5
    M2 = tan(awt) / ((((da2 / db2)2 - 1.0)0.5 - 2 * p / z2) * (((da1 / db1)2 - 1.0)0.5 - (ea - 1.0) * 2 *  p / z1))0.5

    Spur gears with, ea > 1.0
    ZB = 1.0 ... [ M1<= 1.0 ]
    ZB = M1 .... [ M1 > 1.0 ]
    ZD = 1.0 ... [ M2<= 1.0 ]
    ZD = M2 .... [ M2 > 1.0 ]

    Helical gears with, eb >= 1.0
    ZB = ZD = 1.0

    Helical gears with, eb < 1.0
    ZB = M1 - eb * (M1 - 1.0) ... [ ZB >= 0 ]
    ZD = M2 - eb * (M2 - 1.0) ... [ ZD >= 0 ]

    (For internal gears, ZD shall be taken as equal to 1.0)

    Elasticity factor ZE

    ZE = (p * ((1.0 - n12) / E1 + (1 - n22) / E2))-0.5

    where:

    n1,2 ... Poisson's ratio
    E1,2 ... modulus of elasticity

    Contact ratio factor Ze

    Ze = ((4.0 - ea) / 3 * (1.0 - eb) + eb / ea)0.5  ... [ 0 <= eb < 1.0 ]
    Ze = (1.0 / ea)0.5  ... [ eb >= 1.0 ]

    Helix angle factor, Zb

    Zb = 1 / (cos(b))0.5

    Life factor ZNT

    X axis ... number of cycles
    Y axis ... ZNT

    Lubricant factor ZL

    ZL = CZL + 4 * (1.0 - CZL) / (1.2 + 80 / n50)2 = CZL + 4 * (1.0 - CZL) / (1.2 + 134 / n40)2
    CZL = 0.83 ... [ σHlim < 850 ]
    CZL = σHlim / 4375 + 0.6357 ... [ 850 <= σHlim <= 1200 ]
    CZL = 0.91 ... [ 1200 < σHlim ]
    n50 ( n40) ... Nominal viscosity in 50°C (40°C) [mm2/s]


    Diagram viscosity / temperature for viscosity index VI = 50

    Velocity factor ZV

    ZV = CZV + 2 * (1.0 - CZV) / (0.8 + 32 / v)0.5
    CZV = CZL + 0.02

    Roughness factor, ZR

    ZR = (3 / Rz10)CZR
    CZR = 0.15 ... [ σHlim < 850 ]
    CZR = 0.32 - 0.0002 * σHlim ... [ 850 <= σHlim <= 1200 ]
    CZR = 0.08 ... [ 1200 < σHlim ]
    Rz10 = Rz * (10 / rred)(1/3)
    rred = (r1 * r2) / (r1 + r2)
    r1,2 = 0.5 * db1,2 * tan(awt)

    Work hardening factor, ZW

    The work hardening factor, ZW takes account of the increase in the surface durability due to meshing a steel wheel (structural steel, through-hardened steel) with a hardened or substantially harder pinion with smooth tooth flanks.

    Pinion Surface-hardened, Gear through-hardened
    ZW = 1.2 * (3 / RzH)0.15 ... [ HB < 130 ]
    ZW = (1.2 - (HB - 130) / 1700) * (3 / RzH)0.15 ... [ 130 <= HB <= 470 ]
    ZW = (3 / RzH)0.15 ... [ HB > 470 ]

    ZW for static stress
    ZW = 1.05 ... [ HB < 130 ]
    ZW = 1.05 - (HB - 130) / 680 ... [ 130 <= HB <= 470 ]
    ZW = 1.0 ... [ HB > 470 ]
    RzH = Rz1 * (10 / rred)0.33 * (Rz1 / Rz2)0.66) / ( n40 * v / 1500)0.33) ... [ 3 <= RzH <=16 ]

    Through-hardened pinion and gear
    ZW = 1.0 ... [ HB1/HB2 < 1.2 ]
    ZW = 1.0 + A * (u - 1.0) ... [ 1.2 <= HB1/HB2 <= 1.7 ]
    ZW = 1.0 + 0.00698 * (u - 1.0) ... [ 1.7 < HB1/HB2 ]
    A = 0.00898 * HB1/HB2  - 0.00829

    ZW for static stress
    ZW = 1.0

    ISO 6336-3:2006 Part 3: Calculation of tooth bending strength.

    This part of ISO 6336 specifies the fundamental formulae for use in tooth bending stress calculations for involute external or internal spur and helical gears with a rim thickness sR > 0.5 * ht for external gears and sR >1.75 * mn for internal gears.

    Safety factor for bending strength (safety against tooth breakage), SF

    Calculate SF separately for pinion and wheel:

    SF1,2 =  σFG1,2 /  σF1,2 >= SFmin

    Tooth root stress σF

    σF = σF0 * KA * KV * KFb * KFa

    The nominal tooth root stress σF0
    σF0 = Ft / (b * mn) * YF * YS * Yb * YB * YDT

    Permissible bending stress σFP : Method B

    σFP = σFlim * YST * YNT * YdrelT * YRrelT * YX / SFmin = σFG / SFmin

    Tooth root stress limit σFG
    σFG = σFP * SFmin

    The form factor, YF : Method B

    YF = (6 * hFe / mn * cos(aFen)) / ((sFn / mn)2 * cos(an))

    Tooth root normal chord sFn ; radius of root fillet rF ; bending moment arm hFe

     

    Dimensions and basic rack profile of the teeth (finished profile)
    A...without undercut
    B...with undercut

    auxiliary values
    E = p / 4 * mn - hfP * tan(an) + spr / cos(an) - (1 - sin(an) * rfP / cos(an)
    spr = pr - q
    spr = 0 when gears are not undercut
    rfPv = rfP ... external gears
    rfPv = rfP + mn * (x0 + hfp/mn - rfP/mn)1.95 / (3.156 * 1.036z0) ... internal gears
    x0 ... the pinion-cutter shift coefficient
    z0 ... the number of teeth of the pinion cutter
    G = rfPv / mn - hfP / mn + x
    H = 2 / zn * (p / 2 - E / mn) - T
    T = p / 3 ... external gears
    T = p / 6 ... internal gears
    q = 2 * G / zn * tan(q) - H

    Determination of normal chordal dimensions of tooth root critical section for Method B
    A...external gears
    B...internal gears

    Tooth root normal chord sFn
    sFn / mn = zn * sin(p/3 - q) + (3)0.5 * (G / cos(q) - rfPv / mn) ... external gears
    sFn / mn = zn * sin(p/6 - q) + (G / cos(q) - rfPv / mn) ... internal gears

    Radius of root fillet rF
    rF  / mn = rfPv / mn + 2 * G2 / (cos(q) * (zn * cos(q)2 - 2 * G))

    Bending moment arm hFe
    hFe / mn = 0.5 * ((cos(ge) - sin(ge) * tan(aFen)) * den / mn - zn * cos(p/3 - q) - G / cos(q) + rfPv / mn)) ... external gears

    hFe / mn = 0.5 * ((cos(ge) - sin(ge) * tan(aFen)) * den / mn - zn * cos(p/6 - q) - (3)0.5 * (G / cos(q) - rfPv / mn))) ... internal gears

    Parameters of virtual gears

    bb = arcsin(sin(b) * cos(an))
    zn = z / (cos(bb))3
    ean= ea / (cos(bb))2
    dn = mn * zn
    pbn = p * mn * cos(an)
    dbn = dn * cos(an)
    dan = dn + da - d
    den = 2 * z / abs(z) * ((((dan / 2)2 - (dbn / 2)2)0.5 - p * d * cos(b) * cos(an) * (ean - 1) / abs(z))2 + (dbn / 2)2)0.5

    *The number of teeth z is positive for external gears and negative for internal gears

    aen = arccos(dbn / den)
    ge = (0.5 * p + tan(an) * x) / zn + inv(an) - inv(aen)
    aFen = aen - ge

    Stress correction factor YS

    The stress correction factor YS is used to convert the nominal tooth root stress to local tooth root stress.
    YS = (1.2 + 0.13 * L) * qs(1 / (1.21 + 2.3 / L))
    L = SFn / hFe
    qs = SFn / (2 * rF)

    Stress correction factor for gears with notches in fillets YSg

    YSg = 1.3 * YS / (1.3 - 0.6 * (tg / rg)0.5) ... [ (tg / rg)0.5 < 2.0 ]

    Helix angle factor Yb

    Yb = 1 - eb * b / 120 ... [if b > 30; b = 30]

    Rim thickness factor YB

    external gears
    YB = 1.0 ... [sR / ht >= 1.2]
    YB = 1.15 * ln(8.324 * mn / sR) ... [0.5 < sR / ht < 1.2]

    internal gears
    YB = 1.0 ... [sR / mn >= 3.5]
    YB = 1.6 * ln(2.242 * ht / sR) ... [1.75 < sR / mn < 3.5]

    Deep tooth factor YDT

    YDT = 1.0 ... [ean <= 2.05] or [accuracy grade > 4]
    YDT = -0.666 * ean + 2.366 ... [2.05 < ean <= 2.5] and [accuracy grade <= 4]
    YDT = 0.7 ... [ean > 2.5] and [accuracy grade <= 4]

    Life factor YNT

    X axis ... number of cycles
    Y axis ... YNT

    Relative notch sensitivity factor YdrelT for reference stress

    YdrelT = Yd / YdT = (1 + (r' * c*)0.5) / (1 + (r' * cT*)0.5)
    c* = cP* * (1 + 2 * qs)
    cP* = 1 / 5 = 0.2
    cT* = cP* * (1 + 2 * 2.5)

    Material: GG [σB=150MPa], GG, GGG(ferr.)[σB=300MPa]
    r' = 0.31

    Material: NT, NV
    r' = 0.1005

    Material: St, V, GTS, GGG(perl.), GGG(bai.)
    r' = MAX(MIN(13100 / Rp0.2(2.1) - (MAX(600;Rp0.2)-600)(0.35) / 1600;0.32);0.0014)

    Material: Eh, IF(root)
    r' = 0.003

    Relative notch sensitivity factor YdrelT for static stress

    Material: St, V, GGG(perl.), GGG(bai.)
    YdrelT = (1 + 0.82 * (YS - 1) * (300 / σ0.2)(1/4)) / (1 + 0.82 * (300 / σ0.2)(1/4))

    Material: Eh, IF, IF(root)
    YdrelT = 0.44 * YS + 0.12

    Material: NT, NV
    YdrelT = 0.20 * YS + 0.60

    Material: GTS
    YdrelT = 0.075 * YS + 0.85

    Material: GG, GGG(ferr.)
    YdrelT = 1.0

    Relative surface factor YRrelT for reference stress

    Rz < 1 mm

    Material: V, GGG(perl.), GGG(bai.), Eh, IF
    YRrelT = 1.12

    Material: St
    YRrelT = 1.07

    Material: GG, GGG(ferr.), NT, NV
    YRrelT = 1.025

    1mm < Rz < 40 mm

    Material: V, GGG(perl.), GGG(bai.), Eh, IF
    YRrelT = 1.674 - 0.529 * (Rz + 1)0.1

    Material: St
    YRrelT = 5.306 - 4.203 * (Rz + 1)0.01

    Material: GG, GGG(ferr.), NT, NV
    YRrelT = 4.299 - 3.256 * (Rz + 1)0.0058

    Relative surface factor YRrelT for static stress

    YRrelT = 1.0

    Size factor YX

    YX = 1.0 ... All materials for static stress

    YX ... Material: St, St(cast), V, V(cast), GGG(perl.), GGG(bai.), GTS(perl.)
    YX = 1.0 ... [ mn <= 5 ]
    YX = 1.03 - 0.006 * mn ... [ 5 < mn < 30 ]
    YX = 0.85 ... [ mn >= 30 ]

    YX ... Material: Eh, IF(root), NT, NV, NT(nitr.), NV(nitr.), NV(nitrocar.)
    YX = 1.0 ... [ mn <= 5 ]
    YX = 1.05 - 0.01 * mn ... [ 5 < mn < 25 ]
    YX = 0.80 ... [ mn >= 25 ]

    YX ... Material: GG, GGG(ferr.)
    YX = 1.0 ... [ mn <= 5 ]
    YX = 1.075 - 0.015 * mn ... [ 5 < mn < 25 ]
    YX = 0.70 ... [ mn >= 25 ]

    ISO 6336-5 Strength and quality of materials.

    This part of ISO 6336 describes contact and tooth-root stresses, and gives numerical values for both limit stress numbers. It specifies requirements for material quality and heat treatment and comments on their influences on both limit stress numbers.

    The allowable stress numbers, σH lim, and the nominal stress numbers, σF lim, can be calculated by the following equation:

    a) σHlim = A * x + B
    b) σFlim = A * x + B

    where x is the surface hardness HBW or HV and A, B are constants

    Requirements for material quality and heat treatment

    The three material quality grades ML, MQ and ME, stand in relationship to
    - ML stands for modest demands on the material quality and on the material heat treatment process during gear manufacture.
    - MQ stands for requirements that can be met by experienced manufacturers at moderate cost.
    - ME represents requirements that must be realized when a high degree of operating reliability is required

    In this calculation, except σHlim and σFlim, are proposed other material parameters that are necessary for calculating the gearing. The values of Ro, E and Poisson constant are commonly available. For the proposal of the tensile strength Rm and yield strength Rp0.2 was used information from the ISO 1265 and specialized literature. Parameters for the time-strength curves were obtained from ISO6336-2 and 3. These curves can be seen in a small graph in the calculation.
    All calculated values are design and based on empirical experience. The exact values for a concrete material you can obtain from your manufacturer or from material tests.

    Hardness notice

    Values HB for HB<=450 steel ball, HB>450 carbide ball
    Values HB used recalculation HB=HV-HV/20
    Values HRC used recalculation  HRC=(100*HV-14500)/(HV+223)

    6. Allowable stress and safety for Involute Spur and Helical Gear Teeth ANSI/AGMA 2001-D04

    Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth ANSI/AGMA 2001-D04

    dynamic factor, Kv

    Kv =  (C / (C + vt))−B
    C = 50 + 56 * (1.0 − B) ... [ 6 ≤ Av ≤ 12 ]
    B = 0.25 * (Av − 5.0)0.667

    vt max = [C + (14 − Av)]2

    Overload factor, Ko

    The empirical guidance values from table B.1 ISO 6336-6 are used.

    Elastic coefficient, Cp

    Cp = (1 / p * (((1 - mP2) / EP) + ((1 - mG2) / EG)))0.5  ... [lb/in2]0.5
    mP and mG is Poisson’s ratio for pinion and gear, respectively; EP and EG is modulus of elasticity for pinion and gear [lb/in2].

    Surface condition factor, Cf

    Cf = 1.0

    Hardness ratio factor, CH

    Through hardened gears
    CH = 1.0 + A * (mG - 1.0)
    A = 0.00898 *(HBP / HBG) - 0.00829
    HBP is pinion Brinell hardness number [HB]; HBG is gear Brinell hardness number,[HB].
    This equation is valid for the range 1.2 ≤ HBP / HBG ≤ 1.7 For HBP / HBG < 1.2, A = 0.0 HBP / HBG > 1.7, A = 0.00698

    Surface hardened/through hardened values
    CH = 1.0 + B * (450 - HBG)
    B = 0.00075 * (2.71828)-0.0112 * (fp)
    fp is surface finish of pinion, microinches, Ra
    if fp>64 ... CH = 1.0

    Load distribution factor, Km

    Km = f (Cmf, Cmt)
    Km = Cmf

    Face load distribution factor, Cmf

    Cmf = 1.0 + Cmc * (Cpf * Cpm + Cma * Ce)
    Cmc is 1.0 for gear with unmodified leads; Cmc is 0.8 for gear with leads properly modified by crowning or lead correction.
    Cpf = F / (10 * d) − 0.025 ... [F<=1.0]
    Cpf = F / (10 * d) − 0.0375 + 0.0125 * F ... [1.0<F<=17.0]
    Cpf = F / (10 * d) − 0.1109 + 0.0207 * F − 0.000228 * F2 ... [17.0<F<=40.0]
    Cpm = 1.0 ... [S1 / S < 0.175]
    Cpm = 1.1 ... [S1 / S >= 0.175]
    Cma = A + B * F + C * F2

      A B C
    1…Open gearing 0.247 0.0167 -0.0000765
    2…Commercial enclosed gearboxes 0.127 0.0158 -0.0001093
    3…Precision enclosed gearbox 0.0675 0.0128 -0.0000926
    4…Extra precision enclosed gearbox 0.038 0.0102 -0.0000822

    Ce = 0.8 ... [gearing is adjusted at assembly; gearing is improved by lapping]
    Ce = 1.0 ... [for all other conditions]

    Reliability factor, KR

    KR = 1.50 [Fewer than one failure in 10 000]
    KR = 1.25 [
    Fewer than one failure in 1000]
    KR = 1.00 [
    Fewer than one failure in 100]
    KR = 0.85 [
    Fewer than one failure in 10]
    KR = 0.70 [
    Fewer than one failure in 2]

    Rim thickness factor, KB

    KB = 1.6 * ln(2.242 / mB) ... [for mB<1.2]
    KB = 1.0 ... [for mB>=1.2]

    mB = tR / ht
    tR is gear rimthickness below the tooth root [in]; ht is gear tooth whole depth [in]

    Pitting resistance

    The contact stress number formula for gear teeth is:

    sc = Cp (Wt * Ko * Kv * Ks * Km * Cf / (d * F * I))0.5

    Allowable contact stress number
    The relation of calculated contact stress number to allowable contact stress number is:

    sc ≤ (sac * ZN * CH) / (KT * SH * KR)

    Pitting resistance power rating
    The pitting resistance power rating is:

    Pac = (p * np * F / 396 000) * I / (Ko * Kv * Ks * Km * Cf) * ((d * sac * ZN CH) / (Cp * SH * KT * KR))2

    Safety coefficient for surface durability

    SH = sac / sc * (ZN * CH) / (KT * KR)

    Bending strength

    The fundamental formula for bending stress number in a gear tooth is:

    st = Wt * Ko * Kv * Ks * (Pd * Km * KB / (F * J))

    Allowable bending stress number
    The relation of calculated bending stress number to allowable bending stress number is:

    st ≤ (sat * YN) / (SF * KT * KR)

    Bending strength power rating
    The bending strength power rating is:

    Pat = (p * np * F / 396 000) * (F * J) / (Ko * Kv * Pd * Ks * Km * KB) * (sat * YN) / (SF * KT * KR)

    Safety coefficient for bending strength

    SF = sat / st * YN / (KT * KR)

    Transmitted tangential load
    Wt = 33000 * P / vt = 2 * T / d = 396000 * P / (p * np * d)

    P is transmitted power [hp]; T is transmitted pinion torque [lb*in]; vt is pitch line velocity at operating pitch diameter, [ft/min]
    vt = p * np * d / 12

    Allowable stress numbers, sac and sat ANSI / AGMA 2001-D04

    This part of ANSI / AGMA 2001-D04 describes the allowable stress numbers sac and sat, for pitting resistance and bending strength.

    Allowable stress numbers in this standard are determined or estimated from laboratory tests and accumulated field experiences. They
    are based on unity overload factor, 10 million stress cycles, unidirectional loading and 99 percent reliability. For service life other than 10
    million cycles, the allowable stress numbers are adjusted by the use of stress cycle factors YN and ZN

    The allowable stress numbers sac and sat can be calculated by the following equation:

    a) sac = A * x + B
    b) sat = A * x + B

    where x is the surface hardness HBW and A, B are constants

    Requirements for material quality and heat treatment.

    These requirements are specified in this standard and are divided in three material quality grades 1,2 an 3.

    In this calculation, except sac and sat, are proposed other material parameters that are necessary for calculating the gearing. The values of p, E and Poisson constant are commonly available. For the proposal of the tensile strength Rm and yield strength Rp0.2 was used information from the ISO 1265 and specialized literature. All calculated values are design and based on empirical experience. The exact values for a concrete material you can obtain from your manufacturer or from material tests.

    Hardness notice

    Values HB for HB<=450 steel ball, HB>450 carbide ball
    Values HB used recalculation HB=HV-HV/20
    Values HRC used recalculation  HRC=(100*HV-14500)/(HV+223)